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in unserm e-Buch    Primzahl Treppen zum Paradies

von H. PeterAleff

 

  

 

 

Footnotes :

  

 

 

4 Paulo Ribenboim: "The New Book of Prime Number Records", Springer- Verlag, New York, 1996, pages 20 to 52.

 

 

 

4a  Calvin C. Clawson: "Mathematical Mysteries: The Beauty and Magic of Numbers", Plenum Press, New York, 1996,  pages 64 and 65

 


 

 

 

  

 

  

  Band 1: Muster der Primzahl - Verteilung

 

in  "polygonal - Zahl  Pyramiden"    

 
 

Dies ist Seite

Prim - Zwillinge Beweis

0   1   2   3   4   5   6   7   8     + 10   11  12  13  14  15  16  17  18

(Übersetzung eines Auszuges von der englischen Version)
1.2. Ein Vorschlag weshalb die Menge von Primzahl Zwillingspaaren unendlich sein muß

Die sechs Zahlen weite Nummern- Kolonne hilft auch bei der Darlegung der bisher noch unbewiesenen Theorie daß die Menge von Primzahl Zwillingspaaren, das ist von Nummernpaaren in denen p und p + 2 beide Primzahlen sind, unendlich ist. 

Hier sind die Gründe dafür:

In einer so organisierten Zahlengruppe liegen die aufeinander folgenden Vielfachen jeder Zahl über drei auf einer geraden Linie von Null bis zu dieser Zahl und darüber hinaus, und auf sich periodisch wiederholenden Parallelen zu dieser Faktor- Linie weiter "unten" wenn die Zahlenkolonne "oben" anfängt. 

Jede dieser so gebrochenen Faktor- Linien fällt somit kaskadenartig in gleichmäßigen Streifen durch die Schichten der Zahlen- Kolonne herunter.

Wenn die Faktor- Linien von all den Primzahlen weiter oben in der Kolonne die beiden Plätze vor und nach der 6n Position in einer Schicht vermeiden, dann sind die beiden Zahlen auf diesen Plätzen nicht Vielfache irgendwelcher vorheriger Primzahlen.  Sie sind deshalb, per Definition, selbst Primzahlen und formen ein Zwillingspaar, wie in Bild 3 hier gezeigt. 

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Bild 3: Faktor Linien von Primzahl- Vielfachen in der sechs- Zahlen- weiten Kolonne
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Ausschnitt der Treffpunkt(e) Schicht von Bild 3 in der sich
alle die Faktor Linien bis zu einer geringeren Zahl treffen und somit die Plätze der Primzahlen-Paare darüber und darunter vermeiden.

Nun nimm das größte bekannte Paar von Zwillings- Primzahlen und stell Dir vor daß Du die Faktor- Linien oder -Streifen für all die kleineren Primzahlen über drei einzeichnest.

Die Menge dieser kleineren Primzahlen ist zwar sehr groß aber doch endlich, und somit wissen wir daß ihre Faktor- Linien sich in einer der Schichten viel weiter unten alle treffen werden.

Die können sich entweder in einem einzigen ungeraden Platz treffen, und zwar nur in den Positionen 6n ± 1 da deren Produkt ja keine drei enthält, oder sie können sich schon viel früher auf zwei oder alle drei ungerade Plätze in einer Schicht mit sechs Plätzen verteilen.

Im Dezember 2001 hatten die Zahlen des dann bekannten größten Zwillingspaares 33,220 Stellen, gemäß den Prime Pages von Chris K. Caldwell.  Wenn Du all die Primzahlen von fünf bis dorthin miteinander multiplizierst, dann wird deren Product sehr, sehr viel größer.

Diese Faktor- Linien alle aufzuzeichnen ist natürlich unmöglich, selbst mit Micro- Drucken auf eine Papier- Rolle die um unser Weltall herum reichte.  Da dies aber ein Gedanken- Versuch ist, spielt die Größe der Zahlen keine Rolle denn unsere Kolonne kann  ja bis ins Unendliche viel tiefer unten  weitergehen.

Diese Methode entspricht dem Vorschlag des alt-griechischen Mathematikers Euklid der auch alle die Primzahlen bis zu einer angeblich "größten" miteindander multiplizierte.  Er stellte sich diese ebenso unmögliche Operation vor um zu zeigen daß das Ergebnis plus oder minus eins entweder jeweils eine Primzahl ist, oder zumindest das Produkt von zwei oder mehr Primzahlen die alle größer sind als die vorher angenommene "größte".

Auf diese Weise bewies er daß es immer wieder eine größere Primzahl geben muß, und daß deren Anzahl deshalb unendlich ist.

Unser Treffen der Faktor- Linien auf einer einzigen Schicht ähnelt daher dem Produkt von Euklid's gedachter Multiplikation: die jeweils zwei Kandidaten- Plätze in den Schichten unmittelbar darüber und darunter sind keine Vielfachen der dort vereinten Primen denn deren Faktor- Linien sind ja alle viel zu steil um auch die fraglichen ungeraden Plätze über oder unter der Treff- Schicht zu treffen.

Jede der Zahlen in den jeweils zwei höheren und niedereren Plätzen die Primzahlen enthalten können ist somit entweder eine Primzahl, oder das Produkt von zwei oder mehr Primzahlen die alle größer sind als die auf der Treff- Schicht vereinigten.

Das Primzahl- Gesetz zeigt daß die Verteilungs- Dichte der Primzahlen für höhere Zahlen-Regionen ständig entlang einer logarithmischen Kurve abnimmt die sich immer mehr dem Nullwert nähert obwohl sie ihn nie ganz erreicht. 

Die Primen die größer sind als unser "größtes" Zwillingspaar sind deshalb viel dünner gesät als die kleineren Primen von der Treff- Schicht die den bei weitem überwiegenden Prozentsatz aller Nicht- Primzahlen mit ihren Faktor- Linien treffen, einschließlich derjenigen die größer sind als die in der Treff- Schicht. 

Obwohl die Anzahl dieser höheren Primen viel größer ist als die bis zur Treff- Schicht, so tragen die höheren doch verhältnismäßig wenig bei zu dem Hagel von Vielfachen mit dem das Bündel der Faktor- Streifen durch die Kolonne herunterläuft und die für Primen möglichen Plätze zerstört. 

Die Wahrscheinlichkeit dafür daß ein bestimmter Platz in der Zahlenreihe von der Faktor- Linie einer  Primzahl  p getroffen wird ist nämlich  1 / p denn die Menge ihrer Vielfachen in einer begrenzten Zahlengegend entspricht ja der Häufigkeit mit der sie wiederkehrt.

Es gilt auch: die Wahrscheinlichkeit dafür daß dieser Platz von irgendeiner Primzahl teilbar ist entspricht der Summe der Kehrwerte aller kleineren Primen die nicht anderweitig von diesem Platz ausgeschlossen sind, wie z. B. diejenigen die in einer benachbarten Treffschicht vereint sind.

Die Summe der Kehrwerte von Primen wächst  mit sub- tektonischer Langsamkeit.  Obwohl sie ebenso unendlich ist wie die Anzahl der Primen selbst, braucht man etwas über 300.000 addierte Glieder bis die Summe auch nur 3 erreicht, und wenn man bis zum millionsten Glied weitermacht kommt man nur bis 3,068.  Je höher man geht, desto mehr verlangsamt sich dies Wachstum zusätzlich4a.

Verglichen mit dieser zunehmenden Seltenheit der Vielfachen von hohen Primen werden die Treff- Schichten schnell häufiger, und somit auch die Kandidaten- Plätze in den Nachbarschichten. 

Die Wahrscheinlichkeit ist deshalb gering daß eine dieser seltenen Faktor- Linien von größeren Primen einen der jeweils zwei möglichen Plätze in dieser wachsenden Anzahl von direkt benachbarten Schichten trifft.

Die Wahrscheinlichkeit daß zwei voneinander unabhängige Ereignisse beide geschehen ist das Produkt der individuellen Wahrscheinlichkeiten für das Geschehen jedes einzelnen dieser Ereignisse.  Die vereinte Wahrscheinlichkeit für das Auffangen einer solchen Faktor- Linie auf jeder der zwei benachbarten Schichten ist deshalb noch viel geringer als für einen einzigen Treffer.

Da diese Wahrscheinlichkeit aber nicht Null ist, wiederholen wir den Prozess und vereinen diesmal auf einer zweiten Treff- Schicht die Faktor- Linien von all den Primen die kleiner sind als die Zahlen der ersten verteilten Treff- Schicht, oder auch der ersten Schicht wo alle die Linien der Primen bis zur ersten Grenze hin sich in einem Platz sammeln, je nach Belieben.

Egal welche Methode wir wählen, diese zweite Treff- Schicht ist noch viel weiter unten als die erste.  Das macht aber nichts, denn all die Nummern in der Kolonne folgen deren Regeln gehorsam und endlos.

Es ist deshalb noch viel unwahrscheinlicher daß die Zahlen in den Kandidaten- Plätzen neben dieser zweiten Treff- Schicht ebenfalls je einer Faktor- Linie von besagten noch größeren und noch selteneren Primen in jeder der zwei neuen Nachbar- Schichten begegnen.

Weiterhin ist die vereinte Wahrscheinlichkeit nochmals viel geringer daß jede der nunmehr vier möglichen Schichten solch einen Zwillings- vernichtenden Treffer aufweisen sollte.

Nun wiederholen wir den Prozess und finden die dritte Treff- Schicht, dann die vierte, und so weiter bis weit über alle Vorstellungskraft für Vergleiche mit den Größenordnungen hinaus.

Jedes Mal verringert sich dabei die Wahrscheinlichkeit für solche Treffer in den Nachbar- Schichten noch mehr, und die vereinte Wahrscheinlichkeit für mindestens je einen Treffer in jeder solchen Schicht verkleinert sich noch viel schneller.

Mach aber immer weiter, und die vereinte Wahrscheinlichkeit für eine un- unterbrochene Reihe von Treffern auf jeder der möglichen Schichten wird bald verschwindend klein.   Wenn Du unendlich lang weitermachst, dann kommt sie unendlich nahe an Null.

Die umgekehrte Wahrscheinlichkeit ist daß die Faktor- Linien zumindest eine dieser vielen Schichten nicht treffen.  Diese nähert sich der eins, und das bedeuted Gewißheit.

Wir wissen deshalb daß die beiden für Primzahlen möglichen Plätze in zumindest einer dieser unendlich vielen Nachbar- Schichten von den immer selteneren Faktor- Linien nicht getroffen werden und deshalb ein unversehrtes Zwillingspaar bilden.

Es gibt deshalb immer ein Paar von Zwillings- Primzahlen das größer ist als jedes angeblich "größte" Paar, und ihre Reihe hat somit kein Ende.
 
Q. e. d.

*

Dies ist nur ein Beispiel wie nützlich solche stets gleich weiten Kolonnen von Zahlen für die Darstellung von Primzahl-  Verhaltensweisen sein können.

Das Studium der Rest- Beträge vom Teilen durch Primzahlen hat auch beim Beschreiben von so vielen anderen Primzahl- Eigenschaften geholfen daß der Mathematiker Paulo Ribenboim, Autor von vielen Büchern in diesem Gebiet, an seine Beschreibung vom Siebe des Eratosthenes in seinem Buch über Primzahl Rekorde ein langes Kapitel anschloß mit grundlegenden Beweisen und Verfahren zum Prüfen von Primen die alle auf solchen Rest- Beträgen beruhen4.

Andererseits zerstört unser Aufzwingen von einer stets gleichen Kolonnen- Breite auf die stets wachsende Menge der Nummern die schönen Muster in der Verteilung der Primen die andere und besser angepaßte Methoden für die Wahl der Schichten- Breiten sichtbar machen.

Weiter (auf englisch)
 

 

 

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